【矩道虚拟仿真实验室】From Zero to Infinity（四）

01

什么是长度？

这个问题，恐怕任何一个人都知道，就算是刚刚有自我意识的小孩子，也会咿咿呀呀地比划大小、长短等概念。

但是，越是简单的概念，反而越难以叙述。在绝大部分人的认知中，“长度”是一个基础概念，很难再用另一个更基础的概念去描述。倘如你说长度是两点之间的距离，那么问题显然就变成了——“距离是什么”。

在人类甚至大部分陆地生物的眼中，光是走直线的，所以我们将两点之间的最短路径定义成“线段”。但是在深海中，因为光不能很好地穿透水，所以“声音”是比“光线”更好的信息传递介质，比如海豚、鲸鱼。

题外话——虎鲸属于海豚科

而初中物理第一册就告诉我们，声音的传递速度与水的密度息息相关，位置越深，音速越快。因此，在折射的影响下，声音在海底的传播并非是一条直线。而在海洋生物的感知中，世界“看起来”是一个圆心在海面的凹陷球体，这种感觉再延伸出去，就是罗巴切夫斯基几何。

反过来说，我们常用的欧氏几何，不过是眼睛看到的光线反应到思维中的结果。实际上呢？我们都知道光并不一定是走直线的——不仅仅是因为大气等折射，还有空间的影响。这时候再来看，什么是距离呢？最短路径？随着我们观察的视角不一样，最短路径并没有一致的说法。

02

勒贝格测度

在欧式几何中，线是无数点的总和，这也构成了微积分的基础概念。但是点是没有长度的，或者说，点的长度是零。线是由无数点构成的，那么，线的长度又是从哪儿来的呢？

在集合论中，我们采取这样的定义：

（1）一个直线，就是一个巨大的点集；

（2）这个点集的每一个子集，包括它自身，都存在‘势’。这个势就是一个测度；

（3）两个彼此本身不相交的子集的并集——也就是这个大点集的另一个子集，也有测度并且这个测度应该等于两者之和。简单来说，两个不相交不重叠的线段的总长度，就可以视作是它们各自长度的总和。

更进一步地，三个不相交子集的测度之和也应该等于这三个子集并起来的集合的测度，四个也好，五个也好，依此类推，无穷个不相交子集的测度之和也应该等于把它们并起来得到的集合的测度。

由此，我们就可以做出最终的定义了：

（1）空集对应的测度是零；

（2）若干个彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度，刚好等于这些子集各自测度之和；

（3）如果把直线看作实数轴，那么从数轴上a点到b点的线段对应的测度应当等于b减去a。

这就是我们通常所说的“长度”的在勒贝格测度中的严格定义。当然也存在其他的测度体系，比如物理学中涉及的狄拉克测度等，但这不代表勒贝格测度本身有问题。数学家们相信，实际上还有更加具有普遍意义的测度，只是人类暂时没有认知到那一步。

亨利·勒贝格（1875年-1941）

03

 主观与客观

“长度”这个概念——准确来说是符合我们主观经验的“长度”，实际上是自有自在、客观存在的，不受主观的左右。如果不采用勒贝格测度，或者广泛一点，不采用和勒贝格测度等价的测度体系，你有可能会得到“从数轴上a点到b点的线段对应的测度不等于b减去a”的结论，但这是不符合你的客观存在的，那么这套体系必然会崩溃。

所谓的主观经验，还有建立在主观经验上的智慧，都不过是我们用有限的感官打造的囚笼。另一个典型例子就是“光是粒子还是波”，实际上不管是“粒子”还是“波”，都只是将一些特定的性质做了一个总结，由此物理学家们开始了数百年的争执。

如果只依靠主观的智慧，而不学习客观的逻辑，那所谓的智慧就永远也冲不破这一层最大的知见障，只能在可悲的自我的主观当中徘徊。